Education Center: Irisan dan Gabungan Dua Himpunan

IRISAN DAN GABUNGAN DUA HIMPUNAN
(dikutip dari dan di-link ke: http://www.e-dukasi.net/)

Apakah kita dapat menyelesaikan masalah – masalah yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari dengan menggunakan pengetahuan kita tentang himpunan, khususnya irisan dan gabungan dua himpunan? Ya, tentu saja kita dapat menyelesaikan permasalahan ... [Download]

Kompetensi
* Siswa dapat mengklasifikasikan suatu himpunan
* Siswa dapat menggunakan irisan dua himpunan untuk memecahkan masalah
* Siswa dapat menggunakan gabungan dua himpunan untuk memecahkan masalah.

1. Pengantar

Ya, tentu saja kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut yang berkaitan dengan kelompok atau himpunan dengan apa yang akan kita dapat berikut ini.

Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman, yaitu Georg Cantor ( 1845 – 1918). Konsep tentang himpunan sampai saat ini sangat bermanfaat untu menyelesaikan soal-soal cerita yang sering kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Demikian juga John Venn (1834 – 1923), seorang matematikawan berkebangsaan Inggris, berjasa menemukan diagram Venn yang sangat membantu kita memahami himpunan.

2. Definisi Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman, yaitu George Cantor ( 1845 – 1918).

Contoh:

1. Yang merupakan himpunan adalah:

Himpunan warna lampu lalu lintas
Kumpulan bilangan prima kurang dari 10
I = { x ç x <>
H = { 1, 3, 5, 6 }

Penjelasan:

Obyek pada himpunan warna lampu lalu lintas dapat didefinisikan dengan jelas, yaitu merah, kuning dan hijau.
Obyek pada kumpulan bilangan prima kurang dari 10 adalah 2, 3 ,5 dan 7.
Obyek pada himpunan I adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9
Obyek pada himpuanan H sudah jelas yaitu 1, 3, 5 dan 6

2. Yang bukan merupakan himpunan adalah:

Kumpulan warna yang menarik
Kumpulan lukisan yang indah
Kumpulan siswa yang pintar
Kumpulan rumah bagus

Penjelasan:

Obyek-obyek pada kumpulan-kumpulan tersebut tidak dapat didefinisikan dengan jelas, karena batasannya tidak jelas dan penafsirannya dapat berbeda-beda.

Definisi anggota himpunan:

Setiap benda atau obyek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dan dilambangkan dengan "", sedang untuk menyatakan bahwa suatu benda atau obyek bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang "

Contoh:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
P = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan
Q = { 1, 3, 5 }

Maka :
2 P atau “ 2 anggota P “
6 P atau “ 6 anggota P “
3 P atau “ 3 bukan anggota P “
1 P atau “ 1 bukan anggota P “
3 Q atau “ 3 anggota Q “
5 Q atau “ 5 anggota Q“

Keadaan tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram yang disebut diagram Venn. Diagram ini dikemukakan pertama kali oleh John Venn (1834 – 1923), seorang matematikawan berkebangsaan Inggris.

S = himpunan semesta digambarkan dalam bentuk persegi panjang
P dan Q yang merupakan himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta (S) digambarkan dalam bentuk kurva tertutup sederhana.
Setiap anggota himpunan S, P dan Q ditandai dengan sebuah noktah dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.

3. Irisan Dua Himpunan

Irisan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan sekaligus merupakan anggota himpunan B. Notasi:

Contoh :

Diketahui A = { Andri, Tono, Intan, Dewi }
B = { Budi, Tono, Yeni, Intan, Alex }

a. Gambarkan pada diagram Venn
b. Tentukan anggota A B

Diketahui
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 12 }
A = { 1, 2, 4, 6, 9 }
B = { 4, 5, 9, 10, 12 }
a. Gambarkan pada diagram Venn
b. Tentukan A B

Jawab :

a.

b. A B = {4,9}

Diketahui P = { bilangan prima kurang dari 13}
Q = { 3, 5 }
a. Gambarkan pada diagram Venn
b. Tentukan P Q

Jawab:

a. P = { 2, 3, 5, 7, 11 }
Q = { 3, 5 }

b. P Q = {3,5}

Dalam suatu kelas yang terdiri dari 40 siswa ternyata 24 siswa gemar basket, 30 siswa gemar tenis, dan 2 siswa tidak gemar kedua jenis olah raga tersebut. Berapakah siswa yang gemar basket dan tenis?

Jawab:

Misalkan S = { siswa }
B = { siswa gemar basket }
T = { siswa gemar tenis }
Banyak siswa yang gemar basket dan tenis = x orang,
siswa yang gemar basket saja ada (24 – x) orang, dan yang
gemar tenis saja ada (30 – x) orang, maka :
(24 – x) + x + (30 – x) + 2 = 40
24 – x + x + 30 – x + 2 = 40
54 – x + 2 = 40
56 – x = 40
- x = 40 – 56
- x = - 16
x = 16
Jadi ada 16 siswa yang gemar basket dan tenis

4. Gabungan Dua Himpunan

Gabungan himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota A saja, anggota B saja, dan anggota persekutuan A dan B.
Notasi :

Contoh :

Diketahui S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B = { 4, 5, 6, 9 }

a. Gambarkan pada diagram Venn
b. Tentukan A B

Jawab:

Diketahui
K = { bilangan asli genap kurang dari 12 }
L = { bilangan asli ganjil kurang dari 12 }
Tentukan :
a. Diagram Venn-nya
b. KL

Jawab :

a. Anggota K = { 2, 4, 6, 8, 10 } dan
L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 }

b. K L = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 }

Dalam suatu kelompok anak, terdapat 24 anak suka makan baso, 32 anak suka makan mie ayam, 12 anak suka baso dan mie ayam, sedang 3 anak tidak suka kedua-duanya. Berapakah banyaknya anak dalam kelompok itu ?

Jawab :
Misalkan, S = { anak }
B = { anak suka makan baso}
M = { anak suka makan mie ayam }
n(B) = 24, n(M) = 32 dan n(BM) = 12
Banyak anak dalam kelompok tersebut
n(S) = n(B) + n(M) - n(BÇM) + 3
= 24 + 32 - 12 + 3
= 56 – 12 + 3
= 44 + 3
= 47 anak