Dalil Pythagoras - Matematika SMP Kelas VII

DALIL PYTHAGORAS
(dikutip dari dan di-link ke: http://www.e-dukasi.net/)

Dalil Pythagoras merupakan salah satu dalil yang paling sering digunakan secara luas. Dalil ini pertama kali ditemukan oleh Pythagoras, yaitu seorang ahli matematika bangsa yunani yang hidup dalam abad keenam Masehi ( kira-kira pada tahun 525 sebelum Masehi ).

Dalil ini sesungguhnya telah dikenal orang-orang Babilonia sekitar 1.000 tahun sebelum masa kehidupan Pythagoras dan sampai saat ini masih digunakan antara lain untuk pelayaran, astronomi, dan arsitektur. [Download]

Kompetensi
Setelah mempelajari materi ini, maka kompetensi yang diharapkan :
1. Dapat membuktikan dalil pythagoras
2. Dapat menghitung panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui
3. Dapat mengetahui tiga buah bilangan yang merupakan tripel pythagoras
4. Dapat menentukan jenis segitiga, jika diketahui tiga buah sisi segitiga tersebut.

1. PEMBUKTIAN DALIL PYTHAGORAS
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku Dalil Pythagoras , yaitu :

c² = a² + b²

atau

Kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi-sisi yang saling tegak lurus

Pembuktian Dalil Pythagoras ada 3 cara, yaitu :

Cara 1 :

ABCD adalah sebuah persegi dengan panjang sisinya ( a + b ), sedangkan EFGH adalah sebuah persegi dengan panjang sisi c.

Luas persegi EFGH	=	Luas persegi ABCD - Luas diarsir
c2	=	Luas persegi ABCD - 4 Luas segitiga
c2	=
c2	=	a2 + 2ab + b2 - ( 2ab )
c2	=	a2 + 2ab + b2 - 2ab
c2	=	a2 + b2

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Luas segitiga	=
( a + b )2	=	a2 + 2ab + b2

Cara 2 :

Perhatikan gambar di atas !
Persegi ABCD (gbr 1) kongruen dengan persegi KLMN (gbr 2), dengan panjng sisi (a+b). Luas empat buah segitga yang diarsir pada persegi ABCD = luas empat buah segitiga yang diarsir pada persegi KLMN, maka luas daerah yang tidak diarsir pada persegi ABCD = luas daerah yang tidak diarsir pada persegi KLMN.

Kesimpulan :

c² = a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

Luas segitiga	=
( a + b )2	=	a2 + 2ab + b2

Cara 3 :

Perhatikan gambar di atas !
Luas persegi dengan panjang sisi a adalah 9 satuan luas ( 9 kotak ) atau a2
Luas persegi dengan panjang sisi b adalah 16 satuan luas ( 16 kotak ) atau b2

Luas persegi dengan panjang sisi c = luas persegi dengan panjang sisi a + luas persegi dengan panjang sisi b

25 satuan luas	=	9 satuan luas	+	16 satuan luas
25 satuan luas	=	25 satuan luas

Kesimpulan :

c² = a² + b²

Keterangan :
Luas persegi = sisi x sisi = s²

2. Perhitungan panjang salah satu sisi segitiga siku-siku, Jika dua sisi yang lain diketahui
Dalam segitiga siku-siku ABC, siku-siku di titik C, berlaku

1.	Jika sisi a dan b diketahui , maka sisi c dapat dihitung dengan rumus : c2 = a2 + b2
2.	Jika sisi b dan c diketahui , maka sisi a dapat dihitung dengan rumus : a2 = c2 - b2
3.	Jika sisi a dan c diketahui , maka sisi b dapat dihitung dengan rumus : b2 = c2 - a2

CONTOH 1 :

Sebuah segitiga ABC siku-siku di titik A. Panjang AB = 4 cm dan AC = 3 cm.
Hitunglah panjang BC !

CONTOH 2 :

Pada gambar di samping, diketahui a = 10 dan c = 6 cm. Hitunglah nilai b !

PENYELESAIAN

3. Tripel Pytagoras
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan ? bilagan asli dan c merupakan bilangan terbesar, dikatakan merupakan tripel Pythagoras jika ketiga bilangan tersebut memenuhi hubungan :

c2	=	a2+b2	atau
b2	=	c2-a2	atau
a2	=	c2-b2

CONTOH :

Manakah diantara tigaan berikut yang merupakan tripel Pythagoras ?

a. 9, 12, 15

b. 13, 14, 15

c. 5, 12, 13

PENYELESAIAN

a. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 12 dan b = 9 152 = 122 + 92 225 = 144 + 81 225 = 225 Jadi 9, 12, 15 merupakan tripel pythagoras

b. Angka terbesar 15, maka c = 15, a = 13 dan b = 14 152 ¹ 132 + 142 225 ¹ 169 + 196 225 ¹ 365 Jadi 13, 14, 15 merupakan bukan tripel pythagoras

c. Angka terbesar 13, maka c = 13, a = 12 dan b= 5 132 = 122 + 52 169 = 144 +25 169 = 169 Jadi 5, 12, 13 merupakan tripel pythagoras

4. Jenis Segitiga
Hubungan nilai c² dengan ( a² + b² ) dapat digunakan untuk menentukan jenis segitiga. Jika a, b, dan c adalah panjang sisi-sisi suatu segitiga dengan :

	c2 > a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga tumpul
	c2 = a2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku
	c2 <>2 + b2 , maka segitiga tersebut merupakan segitiga lancip

CONTOH :

Tentukanlah jenis segitiga berikut ( lancip, siku-siku, atau tumpul ), jika sisi-sisinya :

a. 6, 8, 10

b. 0,2 ; 0,3 ; 0,4

c. 11, 12, 14

PENYELESAIAN :

a. Untuk sisi segitiga 6, 8, 10 102 = 62 + 82 100 = 36 + 64 100 = 100 Jenis segitiga adalah segitiga siku-siku

b. Untuk sisi segitiga 0,2 ; 0,3 ; 0,4 0,42 > 0,22 + 0,32 0,16 > 0,04 + 0,09 0,16 > 0,13 Jenis segitiga adalah segitiga tumpul

c. Untuk sisi segitiga 11, 12, 14 142 <>2 + 122 196 <>

Simulasi
* Simulasi 1
* Simulasi 2
* Simulasi 3
* Simulasi 4
* Simulasi 5
Latihan
Tes

Materi Pokok SMP » Kelas VII » Matematika